撰文 | 朱安远（北京金自天正智能控制股份有限公司高级工程师，诺奖研究者）

陆家羲对组合数学研究抱有满腔的赤诚和全身心的热爱，他心无旁骛、孜孜不倦地沉醉于数学王国20多年，以中学物理教师身份荣膺1987年国家自然科学奖一等奖之殊荣。“另类”陆家羲创造的这一奇迹在中外科学史上实属罕见。谨以此文深情缅怀尊敬的陆家羲老师逝世40周年。

(资料图)

出身于贫寒家庭

1935年6月10日（农历五月初十），陆家羲出生于今上海市虹口区一个贫苦市民家庭。父亲陆宝祥是上海滩“跑街的”（摆摊售货的小商贩），常自产自销酱油、味素等调味品以养家糊口。母亲李月仙操持家务，全家生活清苦。陆家羲父母共生育过4个孩子，前3个均因患病无力医治而早夭。

陆家羲天资聪颖，求知欲强，酷爱学习，十分珍惜来之不易的求学机会，学业成绩一直名列前茅，对数学情有独钟。1948年父亲突患重病去世，翌年陆家羲初中毕业后因家贫而辍学，1950年9月进入上海公共汽车公司下属的一家五金材料行当学徒工，开始承受家庭生活重担。他从小就不得不学会与困苦的生活相抗争。

自学高中课程考上大学

1951年10月，陆家羲辞别慈母决然只身离沪北上，被招聘到沈阳进入东北电器工业管理局举办的短期统计培训班学习，次年5月以第一名的成绩结业后被分配到哈尔滨电机厂生产科做统计工作。

1956年夏，陆家羲偶然阅读到留美数学硕士（经仔细考证，广为流传的“博士”说有误）、数学教育家孙泽瀛的著作《数学方法趣引》，书中深入浅出地介绍了8个世界著名数学难题，他尤其被“寇克满之女生问题”深深吸引并因此而着迷。自此他以毕生精力与心血，走上了独自在世界组合数学最前沿研究领域孤军奋战，奋力探索奥秘的极其艰辛的攻关征途，常年如痴如醉地遨游于数学王国。

陆家羲利用工余时间刻苦自学高中课程和俄语（为查阅资料方便，后来还自学过英语和日语）。纯粹以充实提高自己的专业知识和开阔眼界为目的，毅然放弃当时已60多元月薪的高工资，于1957年秋弃职如愿考入长春的东北师范大学（1958-1980年称吉林师范大学）物理系，仅靠微薄的助学金完成大学生涯。

大学期间，陆家羲的物质生活虽大大不如工作之时，但其精神世界却是自由而丰富多彩的，这正是他企盼的惬意生活状态。他同时在物理和数学两个学科里齐头并进，研读过大量数学专著，课业成绩也优异。正如陆家羲后来对亲友所表述的心声：

自己真正喜爱的是物理，因为它可以为人类作出更直接的贡献，自己乐意把它作为终生研究领域，但从事物理学研究需要很多物质条件，在当时的环境条件下他只能选择研究数学，因为它只需要纸和笔。

挑战著名世界数学难题，绝非易事，没有捷径，亦无坦途。陆家羲充分利用空暇时间，以浓厚的兴趣探寻“寇克满之女生问题”的奥妙。紧张的大学生活结束时，他不仅以优异成绩取得毕业文凭，而且基本上解决了困扰数学界百余年的“寇克满之女生问题”。

自2017年秋季起，陆家羲母校东北师范大学创设“陆家羲数理基地班”，以“创造的教育”为理念，力图培育和发掘创新型卓越人才。

到草原钢城包头支援边疆

1961年8月，陆家羲本科毕业后被分配到包头钢铁学院（今内蒙古科技大学）任教，后历任包八中、包五中、包二十四中和包九中物理教师。他性格内向、沉默寡言，长期潜心于组合数学研究，任劳任怨、与世无争。

包九中校园致知楼前的陆家羲塑像

包九中是内蒙古自治区的重点中学，陆家羲作为骨干物理教师，教学水平很高，教学任务繁重，业余时间甚少，但他从未因数学研究而耽搁本职教学工作，故他日记中最多的一个字就是“夜”：“夜工作” “夜补课”“夜写论文”“夜思考Bays猜想”“夜打英文稿”……

诚如鲁迅先生所云：“哪里有天才，我是把别人喝咖啡的工夫都用在工作上的。”苏格兰哲学家、散文家和历史学家托马斯 · 卡莱尔（Thomas Carlyle）也说“世界荣誉的桂冠都是由荆棘编织而成的”。一旦有空，陆家羲就经常沉浸在“一纸，一笔，一（数学）世界”的崇高忘我境界。休闲时他喜欢欣赏京剧。

柯克曼女生问题

1850年，英格兰教区长和数学家托马斯 · 柯克曼（旧译寇克满，Thomas Kirkman）提出一个有趣的问题：

15个女生每天以3人一排共5排的队形外出散步，现要求安排一周7天的队形，使得任意两个人恰有（有且仅有）一天被安排在同一排。

这就是后来流传甚广的柯克曼15女生问题，同年英国数学家亚瑟 · 凯莱（Arthur Cayley）就公布了这个问题的局部解，其后陆续有人找到了其他局部解。

柯克曼15女生问题的实质就是15阶柯克曼三元系KTS（15）的存在性问题，它仅是可分解平衡不完全区组设计（RBIBD）的一个特例。一般化的RB[v，k，λ]设计的存在性问题在区组设计中后被概称为“柯克曼女生问题”。该问题迄今尚未解决，陆家羲1984年发表的遗作至今仍是这方面已知最好和最齐整的结果。

斯坦纳系列问题

1844年，英国数学家韦斯利 · 伍尔豪斯（Wesley Woolhouse）首先提出B[v，3，1]的区组设计问题，1847年柯克曼首先证明它存在的充要条件是当且仅当v≡1，3（mod?6），其中v≥3，首开区组设计研究之先河。伍尔豪斯和柯克曼当时的工作并未引起人们注意，直到1853年瑞士几何学家雅各布 · 斯坦纳（Jakob Steiner）在研究四次曲线的二重切线问题时再次提出B[v，3，1]的存在性问题，三元系的问题才开始引起学者们的重视。

因当时信息闭塞，1859年德国数学家米歇尔 · 赖斯（Michel Reiss）又独立地得到与柯克曼一样的结果，证实了斯坦纳的猜测。斯坦纳是近代射影几何学的奠基人之一，名望较高，因此赖斯阴差阳错地将B[v，3，1]命名为“斯坦纳三元系”，记作STS（v），将B[v，k，1]命名为“斯坦纳系”，B[v，3，λ]则被称为三元系。每个STS（v）的区组数由v（v–1）/6个3–子集组成。斯坦纳三元系是区组设计B[v，k，λ]中最小、最基本和最重要的研究对象。

1861年，英国数学家詹姆斯 · 西尔维斯特（James Sylvester）在柯克曼15女生问题的基础上又进一步地提出：

请给出一个13周的散步安排，使得每周的队形方案都满足柯克曼15女生问题中的条件，且任意三个女生在13周恰有一天被安排在同一排。

这就是著名的区组设计大集中的西尔维斯特问题，即LKTS（15）。LKTS（15）的首个局部解迟至1974年才借助计算机找到，由此可见不相交柯克曼三元系大集LKTS（v）的存在性问题难度之大，其完整解的研究至今尚处于起步阶段，进展十分缓慢，离完全解决仍相距甚远。

不相交斯坦纳三元系大集LSTS（v）起源于1850年对LSTS（7）=D（7）=2的研究，它是比LKTS（v）条件稍弱的另一类大集，恰含v–2个两两不相交的STS（v）。容易证明，LSTS（v）和LKTS（v）的可能存在范围分别是v≡1，3（mod 6）和v≡3（mod 6）。

取得区组设计领域四大世界级杰出成就

陆家羲埋头钻研组合数学20多年，以高超的智慧和坚韧的毅力取得区组设计领域四大世界级杰出成就，即首先完成柯克曼三元系、柯克曼四元系和不相交斯坦纳三元系大集存在性问题的证明并取得可分解平衡不完全区组设计存在性理论中迄今最好和最齐整的结果。

早在1961年，陆家羲大学毕业后不久就基本上解决了柯克曼三元系RB[v，3，1]的存在性问题，最迟到1965年又攻克了柯克曼四元系RB[v，4，1]的存在性问题，因知音难觅和投稿无门，这两项成就被长期埋没，以致于它们都没能取得“出生证”（根据科学共同体公认的国际准则和学术惯例，科学发现优先权得到承认以正式发表学术论文为准）。

当时国际组合数学界的氛围很好，推翻正交拉丁方中欧拉方阵猜想的光辉事迹曾荣登1959年4月26日美国《纽约时报》头版，此事曾轰动一时并被传为科坛佳话。当时陆家羲尚不足30岁，其出色成果若能及时发表并得到国际学术界的认可，他将是包括菲尔兹奖在内的世界级数学大奖的有力争夺者，其美好前程和对组合数学的贡献将难以估量。

1979年4月，陆家羲在获知自己的前两项研究成果已被外国学者分别于1971年和1972年正式发表论文解决时，一度痛心疾首，但他并未自暴自弃而消沉，也没有停下脚步来怨天尤人，而是重新扬起理想的风帆，沐浴在科学的春天里，矢志不移，执着地继续追寻数学之美，向着更高更美的数学高峰发起连续冲击。

历时仅3个多月，不晚于1979年10月就利用独创的数学方法，鬼斧神工、奇迹般攻克了组合数学界的世界级难题——不相交斯坦纳三元系大集LSTS（v）的存在性问题。

1983年3月号（前3篇）和1984年9月号（后3篇），美国《组合论杂志（A辑）》以极为罕见的100个英文印刷页的总篇幅发表了名不见经传的包头市第九中学陆家羲总标题为《论不相交斯坦纳三元系大集》的6篇论文。

他独创性地引入5个辅助设计（AD、AD*、 AD**、LD、LD*）和3个辅助设计大集（LDA1、LDA2、 LDA3），巧妙地引进多种素数因子，精心地设计了一个又一个的递归构造，娴熟地运用了有限域理论、代数数论、正交拉丁方和横截设计等数学工具，前后共推导出16个引理和29个定理，在前人的基础上创造性独具匠心地给出了5个各具特色的递归构造，终于严谨地以简洁、优美而和谐的形式得到了不相交斯坦纳三元系大集的存在性定理（现称陆家羲大集定理，简称陆氏定理）：

若v≡1，3（mod?6），v>7，且v?{141，283，501，789，1501，2365}，则存在LSTS（v），且D（v）=v–2。

陆氏定理遗留的6个例外值陆家羲宣告已明珠在握，他正在构思第7篇论文，可惜刚动笔不久就猝然离世，在其遗稿中只找到24页提纲和部分结果。陆家羲所取得的重大突破性成就迅速得到国际同行的认可和高度评价，震惊了世界组合数学界，这个具有国际一流水平的原创性成果解决了130多年以来的世界级组合数学难题，被誉为20世纪组合数学领域最重大的成就之一，是区组设计领域当之无愧的第三颗明珠，这一光辉成就将永载世界数学史册。

1991年，美国奥本大学比利时数学家卢克 · 特尔林克（Luc Teirlinck）利用陆家羲首创的LD辅助设计工具，证明它具有成对平衡设计（PBD）闭集性质，补充完成了前述6个例外阶数大集存在性问题的证明，从而使得陆氏定理臻于完备。陆家羲和特尔林克完成的这项工作首开整体解决区组设计大集存在性问题之先河，具有里程碑式重要意义。

中国权威数学期刊《数学学报》1984年第4期发表了陆家羲的遗作《可分解平衡不完全区组设计的存在性理论》，这是他在国内唯一一次正式发表学术论文。这一研究成果在国内外组合数学界再次获得高度评价，认为这一结果是整个区组设计理论中带有基础性的一个重要成果，在国际上亦处于领先地位，其价值可与陆氏定理相媲美。

陆家羲仅凭借纸和笔，靠着大脑演绎着复杂的推理和海量的逻辑就取得卓越数学成就，思维缜密、潜能巨大。可以设想，倘若他有机会在较好的科研和生活环境条件下，利用计算机软件等先进工具和手段，并与国内外同行进行学术和情报交流，假以时日，他必将取得更多更大的惊人成就。

发现并赏识陆家羲的三位中外伯乐

中国的伯乐是率先认识到陆家羲论文的重大学术价值并建议他向《组合论杂志》投稿的苏州大学组合数学家朱烈。外国的两位伯乐是陆家羲论文的审稿人，即加拿大多伦多大学国际组合数学权威埃里克 · 门德尔逊（Eric Mendelsohn）教授和加拿大滑铁卢大学图论专家约翰 · 邦迪（John Bondy）教授。三位中外数学大师慧眼识珠，他们是发现并赏识陆家羲的伯乐和功臣。

埃里克 · 门德尔逊是组合数学大师内森 · 门德尔逊（Nathan Mendelsohn）之长子，他子承父业，父子俩均供职于多伦多大学。门德尔逊三元系大集LMTS（v）以内森 · 门德尔逊的名字命名，陆家羲独创的LD设计在LMTS（v）的构造方面发挥过重要作用。

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荣膺国家自然科学家一等奖

1983年10月，陆家羲作为唯一被破例特邀的中学教师代表参加了在武汉举行的中国数学会第四次全国代表大会，与著名数学家陈景润分在同一个小组。大会充分肯定了陆家羲取得的杰出数学成就，表彰他矢志图强、勇攀科学高峰的奋斗精神。

一位知名数学家曾评论道：“他的成就，起码不在陈景润之下！”

有数学专家曾形象地指出：陈景润与陆家羲主攻的都是世界级著名数学难题，彰显出中华民族高超的数学智慧。陈景润是在前人确定了主攻方向，奋力拼搏，奋勇攀登，终于领先而逼近峰巅的。陆家羲则不然，他是百余年来别人还在摸索着前进、路径尚未选好的情况下，独辟蹊径而独占鳌头的。

会后陆家羲为尽快返校授课和研究而忙碌，10月30日18时20分许回到包头医学院职工家属区的家中，因长期在极其窘困的“四无（无科研经费和环境、无科研时间和条件、无同行交流和情报、无技术头衔和职称）”条件下超负荷运转，最终积劳成疾，突发心肌梗死于次日凌晨1时30分许在寓所溘然长逝，终年仅48岁。死神比桂冠更快地悄然降临于他，中断了学者们对他更高的期望，痛哉！惜哉！！

陆家羲的一等奖获奖证书

1983年11月10日，陆家羲追悼会在包九中隆重举行。遗体火化后，骨灰最初安葬在包头市革命陵园（包头市东河区转龙藏龙泉寺），家属后来将其迁葬于青山公墓（包头市青山区兴胜镇），与夫人张淑琴（1940-2018）合葬。

1985年，陆家羲被授予内蒙古自治区首届科技进步奖特等奖。第三届（1987年度）国家自然科学奖于1988年3月15日评定，3月18日对外公布，包头市第九中学陆家羲作为唯一完成人以“关于不相交STEINER三元系大集的研究”的重大成果被追授一等奖，获奖金2万元人民币。1989年2月15日，陆家羲遗孀、包头医学院放射科医师张淑琴代表他出席在北京人民大会堂举行的颁奖大会并领奖。

国家自然科学奖一等奖是中国基础科学研究领域含金量最高的科学大奖。组合数学大师陆家羲毕生辛勤耕耘，生前默默无闻、地位卑微，却一举奇迹般夺得我国自然科学界的最高奖项，这是对“前无古人，后无来者”的最好诠释。

陆家羲的研究工作没有得到任何外部支持，长期不被理解，身处逆境，在环境恶劣、信息闭塞、资料匮乏和冷嘲热讽等艰难困苦条件下，以超人的智慧和顽强的拼搏精神，攀登上一座又一座组合数学高峰，体味到了数学之魅力，欣赏到了数学最高境界之美。

本文经授权转载自微信公众号“世界科学”，原题目为《中国最伟大的业余数学家：中学物理教师兼组合数学大师陆家羲》。

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